六年级数学备课组第六次活动记录

时间：11月7号                  

地点：会议室

人员：方思华、邱张帆、王媛          

内容：1、分数四则混合运算；2、稍复杂的分数乘法实际问题。

摘要：

今天，是我们六年级数学备课组第六次活动。方老师就这一单元关于这一单元的难点进行分析。

教材分析：

本单元在分数四则计算和简单应用的基础上编排，主要教学分数四则混合运算和稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题。这部分内容是五年级下册以来教学的分数知识的综合、提高和总结，对学生掌握并应用分数知识有很大的影响。教学这部分内容能够有效地提高学生的计算能力、思维能力和解决问题的能力，也有利于学生增强学习数学的热情。全单元编排三道例题，具体安排见下表：
例1按运算顺序或者按运算律计算分数四则混合运算
例2、例3两步计算的求一个数的几分之几是多少的实际问题
从表格里可以看到，例1教学分数四则混合运算，内容的容量相当大。不仅有按照四则混合运算的运算顺序计算，还有应用运算律的简便计算。教材把混合运算的两个内容结合起来同时教学，是考虑到学生对整数四则混合运算的顺序已经相当熟悉，对整数加法与乘法的运算律掌握得较好，这些知识与经验在分数四则混合运算里仍然适用，具有较好的迁移条件和较大的迁移空间。另外，混合运算顺序与运算律结合着教学，学生就需要有选择地使用运算知识，尽量使计算比较简便，这对提高运算能力十分有利。
编排两道例题教学两步计算的求一个数的几分之几是多少的问题，不只是因为这样的问题稍复杂些，更是因为它们的数量关系与两步计算的求一个数的百分之几是多少的问题相一致，而且还是列方程解答相应的分数、百分数除法问题的重要基础，对以后的教学有十分重要的影响。
过去的小学数学教材在分数四则混合运算单元里，总要安排两步计算的分数除法应用题，本单元没有这方面的内容。这是由于本册教科书采用列方程的方法解决分数除法实际问题，并且和相应的百分数除法问题一起教学，一并安排在《百分数》单元里教学。本单元只教学两步计算的分数乘法问题，可以在它的数量关系上多投放一些时间与精力，为后面的教学打下扎实的基础。
课程标准只安排分数的四则计算和四则混合运算，没有把分数与小数的混合运算列为教学内容与要求。所以，本单元没有分数与小数的四则计算和混合运算。
（一） 例1通过一题两解，同时教学运算顺序和运算律的知识
例1结合解决实际问题教学混合运算的知识，求做两种中国结一共用彩绳多少米。由于这个问题具有特殊性（两种中国结的个数相同，两种中国结每个用彩绳的长度不同），所以它有不同的解法。教材充分利用这一特殊性，鼓励学生按不同的思路解答，列出综合算式2/5×18+3/5×18和2/5+3/5×18，让他们逐个解释综合算式的结构与含义，体会分数四则混合运算的运算顺序。第一个算式的思路是先分别求出两种中国结各用彩绳多少米，因此要先算式子里的乘法。第二个算式的思路是先求两种中国结各做一个要用彩绳多少米，所以应先算括号里面的。像这样联系解决实际问题的思路体会算式的运算顺序，一方面感受了运算顺序的合理性，另一方面感受了分数的这些运算顺序和整数的运算顺序完全一致。两道综合算式解决同一个问题，有相同的结果，能够组成等式2/5×18+3/5×18＝23+3/5×18，而这个等式表示整数乘法分配律在分数乘法中同样适用。由于加法交换律和结合律在五年级下册分数加法里已经教学，本册教科书第三单元计算分数连乘，把各个乘数的分子、分母交叉约分，已经在应用乘法交换律和结合律，所以本单元着重教学乘法分配律，并由此归纳出“整数的运算律在分数运算中同样适用”的结论。
接着例1编排的“练一练”里有两道计算题。第1题按运算顺序进行计算，要求学生“先说出运算顺序，再计算”，遵循先算乘、除法，后算加、减法的计算顺序。题目中的分数除法需要转化成分数乘法计算，应该特别细心地处理好这些转化。第2题的第一小题可以用简便方法计算。要启发学生找到可以简便计算的因素，把1/5÷7/6变成1/5×6/7，创造应用乘法分配律的条件。整数四则混合运算的简便计算因素比较明显，而分数四则混合运算的简便计算因素往往比较隐蔽，需要认真审题来发现和利用。第二小题计算12/7-(1/3÷7/15+4/5)，按运算顺序算出1/3÷7/15的商5/7以后，应采用减法性质进行简便运算。在四则混合运算的过程中关注能简便计算的机会，这是教材提出的新要求，也是学生计算能力逐步提升的一种表现。
（二） 例2和例3利用线段图表示较复杂问题的数量关系
在分数乘法那个单元里，教学了一步计算的求一个数的几分之几是多少的实际问题。学生已经会用分数乘法解决这样的实际问题。本单元的例2和例3都是稍复杂些的分数乘法问题，不仅含有求一个数的几分之几是多少的数量关系，还含有两个数相并或相差的数量关系，因而比一步计算的问题要复杂些。
分析数量关系是两道例题的教学重点。教材利用线段图直观显示数量关系，采用先画出一些，让学生继续画下去的方式，帮助他们形成解题思路。例2已经画了一条线段，用来表示六年级参加学校运动会的45个同学，要求学生在线段上表示出“男运动员占5/9”，引导他们在表示男运动员人数的同时，想到线段的另一部分表示女运动员的人数，很自然地得出数量关系“运动员总人数-男运动员人数＝女运动员人数”，形成先算男运动员的人数，再算女运动员有多少人的思路。例3已经画了一条表示去年24个班级的线段，要求学生继续画表示今年班级数的线段，体会“今年的班级数比去年增加1/6”的含义，在线段图上看到今年班级数与去年班级数的关系，得出数量关系“24+今年比去年增加的班级数＝今年的班级数”，产生先算今年增加几个班，再算今年有多少个班的思路。教材恰到好处地使用了线段图，先画出一些，把学生引到线段图前面；再让学生接着画图，体会重要信息里的数学内涵，在画图过程中理解数量关系，形成解题思路。教学应该重视画图活动，把学生“会画图、会用图”作为教学的内容与任务，让他们体会画图有助于理解数量关系和解题步骤，积累画图与用图的经验，进一步充实曾经教学的画图策略。具体些说，要注意三点：首先找到实际问题里已知的那个分数并分析其意义，理解运动员总人数和去年的班级数都是可以看作单位“1”的数量，画出表示运动员总人数和去年班级数的线段，才能继续表示男、女运动员人数和今年的班级数。这是分析“男运动员人数占5/9”以及“今年班级数比去年增加1/6”这两个条件中分数的意义，得出的画图思路。其次要使学生理解，男运动员人数是运动员总人数的一部分，可以表示在运动员总人数的线段图上；今年的班级数与去年的班级数之间是比较关系，不存在包含与被包含关系，因此要各画一条线段分别表示。然后要让学生看着画成的线段图，口述女运动员人数与运动员总人数、男运动员人数的关系，得出数量关系式“女运动员人数=运动员总人数-男运动员人数”；口述今年班级数与去年班级数、今年比去年增加的班级数的关系，得出数量关系式“今年班级数=去年班级数+今年比去年增加的班级数”，感受线段图是表示数量关系的手段，是形成解题思路、解决问题的有效工具。
过去教学像例2和例3这样的实际问题，非常提倡一题多解。就例2来说，要根据“运动员总人数减男运动员人数得女运动员人数”，列出算式45-45×5/9；还要根据“女运动员人数占运动员总人数的1-5/9”，列出算式45×1-5/9。而且十分赞赏后面一种算式，鼓励学生列这样的式子解题。再说例3，要根据“去年的班级数加今年比去年多的班级数得今年的班级数”，列出算式24+24×1/4；还要根据“今年的班级数是去年的1+1/4”，列出算式24×1+1/4。也是鼓励学生列后面一种算式解题。本单元教学的两道例题，只出现前面一种算式，只要求用前面一种数量关系解题。因为这些解法的数量关系，是实际问题中最基本的数量关系，人们比较熟悉，容易寻找，喜欢使用。而学生对这些数量关系的理解和掌握程度也比较好，用来解题的困难也小。更重要的是，这些数量关系也是列方程解答其他分数、百分数问题的相等关系，对以后的教学影响很大，直至初中数学里还会经常应用。至于后面一种解法，要从一个已知的分率联想其他的分率，思维比较抽象，对推理的要求也比较高，往往需要进行分率联想的专项训练。也许解答两步计算的分数问题，列后一种算式解答，算起来比较快些，但如果解决更加复杂的问题，就不太方便了。所以教材不提倡用这样的方法解题。如果学生确实独立想到这些解法，应该给予肯定。但是，不必要求其他学生也照着做。要使这两道例题的教学，做到着眼今后，突出重点，减轻负担。
两道例题都很重视对答案的检验，都提出了验算要求。每道题的检验方法也是多样的，学生只要选择一种方法检验结果就够了。例2可以检验算出的女运动员人数是不是占运动员总人数的4/9，或者检验男运动员人数与女运动员人数之和是不是45人……例3可以检验今年班级数是不是比去年多1/6，或者检验今年班级数减今年比去年增加的班级数是不是等于去年的班级数……
两道例题都很重视解题以后的回顾反思，应该围绕分析数量关系、利用线段图、检验结果等解题的主要环节，组织学生说说怎样想，怎样做，从而积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。还可以围绕这两题为什么都需要两步计算，它们与以前学习的分数实际问题有什么不同等进行反思，体会自己的进步，增强学习数学的自信心。
练习十三配合例2和例3的教学。解答两步计算的分数乘法问题时，要组织学生想想、说说数量关系和解题步骤，适当画些线段图，不仅要关注列式计算是否正确，更要关注数学思维的展开与解题思路的形成，以培养良好的解题习惯。教材里设计了一些题组，通过解题前、后的比较，能够进一步整理数量关系，明晰思路。（1） 一步计算问题和两步计算问题的对比题组。第7题的两个问题是连续的，利用已知的“地下电缆全长840米”和“已经铺设了3/5”，可以先求已经铺设的米数，再求还要铺设的米数。对两个所求问题进行比较，要突出分数乘法的数量关系“电缆全长×已经铺设的分率＝已经铺设的长度”，引导学生把已有的“从条件向问题推理”应用到解决分数问题里来。第13题是一道一步计算问题和一道两步计算问题组成的题组，都已知一根钢条长5/8米，各有一个分率1/4。不过，一道题是用去1/4，另一道题是还剩1/4。所以，5/8×1/4＝5/32（米）依据的是不同的数量关系。如果分率表示用去1/4，那么求出的5/32米是用去的长度；如果分率表示还剩1/4，那么求出的5/32米是剩下的长度。尽管两道题都是求还剩多少米，但由于5/32米在两道题里的具体意义不同，使两道题的解答步骤也就不同。（2） “多几分之几”和“少几分之几”的题组。第8题的两小题都已知10岁儿童平均每分钟心跳大约90次，一道题里新生儿平均每分钟心跳次数比10岁儿童“多1/2”，另一道题里青少年平均每分钟心跳次数比10岁儿童“少1/5”。比较这两个分率的意义，就能体会多几分之几和少几分之几的不同。（3） 分率和具体数量对比的题组。第15题的两道题里设计了两个意义不同的1/8，其中一个1/8表示实际节约用煤的吨数相当于计划用煤吨数的份额，另一个18是实际节约用煤的吨数。由于实际节约用煤的吨数在两道题里分别直接已知或者不是直接已知，求实际用煤多少吨的算法自然就不同了。（4） 有“互逆”关系的题组。第1/4题中，一道题的已知条件是另一道题的所求问题；一道题的所求问题是另一道题的已知条件。先解答第一小题，得到“蓝鲸每小时游3/5千米”，把它作为已知条件，把已知的“海豚每小时游50千米”改作问题，就编出了第二小题。反之，先解答第二小题，得到“海豚每小时游50千米”，把它作为已知条件，把已知的“蓝鲸每小时游3/5千米”改作问题，就编出了第一小题。这种有互逆关系的题组，有助于学生把握分数问题里的数量关系，也为检验答案提供了一条线索。
（三） 编排一次“动手做”，培养探索规律的兴趣，提高概括能力
本单元的最后是一次“动手做”，分三个层次进行。
第一个层次要求在方格纸上画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再把这个长方形的长和宽分别增加1/2，计算新长方形面积是原来长方形的几分之几。这个层次里有画图形、放大图形、计算面积、求几分之几等活动，得到的结果是新长方形面积是原来长方形面积的9/4。
第二个层次要求任意画几个长方形，把每个长方形的长和宽分别增加1/2，算出每个新长方形面积是原来长方形的几分之几。得到的结果是各个新长方形面积都是原来长方形的9/4。在这个层次里，原来长方形是任意画的，没有规定其长、宽是多少，得到的结果就不是个别的结论，而是一类现象的共同结果。
第三个层次是发现规律：一个长方形，如果长、宽分别增加1/2，得到的新长方形面积总是原来长方形面积的9/4。
上述结论以画长方形和放大长方形的操作为背景，图形直观能表明新长方形的面积是原来长方形的9/4。如果把原来长方形的长用a表示，宽用b表示，那么原来长方形面积就是ab；新长方形的长应该是3a/2，宽应该是3b/2，面积应该是9ab/4。用字母表示数能够推理出规律。