六年级数学备课组第五次活动记录

时间：10月25号                  

地点：办公室

人员：方思华、邱张帆、王媛          

内容：用假设的策略分析和解决实际问题。

摘要：

今天，是我们六年级数学备课组第五次活动。王老师就第四单元关于这一单元的难点进行分析，并且第二单元的教材进行具体分析。

                                             教材分析：

数学教学让学生解答的实际问题，有些是他们曾经见过或者解过的问题，学生知道解法，能够顺利地得到答案。有些问题比较陌生，由于是首次遇到或很少接触，没有现成的模型可以比照，没有现成的方法可以搬用，解题的困难较大。学生解决新颖的、较复杂的问题，十分需要解决问题的策略。在前面的教科书里，已经教学了常用的解题思路，从条件向问题推理与从问题向条件推理；教学了理解题意、整理信息的常用方法，列表和画图；还教学了枚举、转化等思想方法。应该说，这些策略的教学，大幅度提高了学生解决实际问题的能力。
数学教学不仅要学生解决学过的问题，更要他们创造性地解决没有见过的问题。一些结构比较复杂、解法比较特殊的问题，如果只是利用“常规”性的策略，即使整理了已知条件和所求问题，仍然难以发现数量关系、形成解题思路。即使有转化成其他问题的愿望，仍然会因为缺少转化的途径和手段，而难以进行有效的转化。值得注意的是，如果对某个条件作出合乎逻辑的假设，就可以根据变化后的新情境进行推理，把原来的问题转化成较熟悉的或者稍简单的问题，从而打开解题思路，找到解决问题的途径。所以，假设也是人们解决问题的一个重要策略。数学教学应该让学生逐步掌握假设的思想方法。全单元编排两道例题，具体安排见下表：
编排例1通过解决实际问题初步体验“假设——替换”策略
例2应用“假设——替换”策略解决实际问题
从表格里可以看到，教学假设与替换策略和教学其他策略一样，也是分成两步进行的。第一步先让学生初步认识策略，感悟策略的思想与方法，体会策略有利于解决问题，对学习的策略产生积极的情感态度。第二步让学生尝试着应用策略，在解决问题的活动中，进一步体验策略，逐渐学会使用策略，感受策略的价值，加强策略意识。
（一） 例1利用直观的问题情境，引发假设与替换的想法和做法
例题图文结合，讲述了960毫升果汁正好倒满6个小杯和2个大杯，还指出小杯的容量是大杯的1/3，要求小杯和大杯的容量各是多少毫升。教学过程大致设计成四段。
第一段是理解题意，关注数量关系。学生阅读文字叙述的例1，未必能采用适当的形式整理已知与未知之间的联系。他们虽然能够理解题意，却很可能抓不住核心的数量关系，形不成有效的解题思路。为此，教材提出问题“怎样理解题中数量之间的关系？”引导他们关注“6个小杯和2个大杯的容量一共960毫升”“小杯的容量是大杯的1/3”，并且想到“3个小杯的容量和1个大杯的容量相等”“1个大杯相当于3个小杯”“3个小杯相当于1个大杯”，等等。这些数量关系将为接着的解题活动奠定基础。
第二段是学生交流解决问题的初步打算，并选择一种方法解题。在理解题意和分析数量关系的基础上，学生会有自己的解题打算。教材鼓励他们交流自己的想法，并选择一种方法解题。如，有些学生在直观的图画情境里会想到，如果把果汁全部倒在小杯里，问题就好解决了。于是产生把1个大杯换成3个小杯的想法，使960毫升果汁倒在12个小杯里，先求小杯容量，再求大杯容量都不困难了。又如，有些学生会设1个小杯的容量为x毫升，那么6个小杯的容量是6x毫升，1个大杯的容量为3x毫升，2个大杯的容量为6x毫升，于是想到列方程解题。教学应注意教材的两点意图：一是不要过早勉强学生采用“假设与替换”策略解题，已经想到这种方法的学生可以像这样解题，暂时没有想到的学生，应该用自己想到的方法解题。二是通过组织学生交流各种解法，在交流中充分关注“假设与替换”这种解法，理解如何假设、为什么这样假设，为什么替换、如何替换。明白把果汁倒入大小不同的杯子想象成倒入同样的杯子，就是假设。为了解决问题，在假设的基础上还需要进行必要的替换，把1个大杯换成3个小杯、2个大杯换成6个小杯就是替换。
第三步假设把960毫升果汁全部倒入大杯，用大杯替换小杯，先算出1个大杯的容量，再计算1个小杯的容量。要求全体学生都根据这样的假设算出结果。这一步让原来就采用“假设与替换”方法解答的学生再经历一次“假设——替换”的过程，让原来用其他方法解题的学生，尝试着用“假设——替换”的方法解题，体会这种思想方法。因为这种方法是例题所教学的方法，属于全单元的教学内容。教学应该注意两点：一是学生列式计算时，应该把假设与替换的方法尽量用算式表示出来。部分学生可能会列算式960÷4＝240（毫升），算出1个大杯的容量；列算式960÷12＝80（毫升），计算1个小杯的容量。这两个算式虽然正确，但不够完美。要指导学生在这两个算式的前面，先写出求大杯个数的式子6÷3+2＝4（个），或求小杯个数的式子6+3×2＝12（个），把自己进行的替换表示出来。二是要检验结果，确认结果正确之后再写出答句。这是解决问题的基本程序之一，更是严谨的态度与良好的习惯。尤其在采用新的方法解决新颖问题时，更需要及时检验，以确认解题方法与结果的合理性。检验这道题的结果，要抓住“果汁总量是960毫升”和“小杯的容量是大杯的1/3”这两点进行。只有同时满足这两个关系的结果才是正确答案。
应该承认，学生已有的经验结构中存在假设与替换的元素，不过这种存在是潜在的，往往是无意识地显示和使用。教学的任务是把沉睡的思想唤醒，把潜在的方法激活，不仅解决实际问题，而且让学生体会问题解法里的数学思想，从而使之成为以后解决问题可以利用的资源。这是例题的教学思路，也是策略教学的基本线索。
第四步是回顾反思，积累假设体验。这里的回顾分两个层次进行：一是回顾例题的解题过程，反思自己是怎样假设的，原来的问题通过假设变成怎样的问题，假设在解决这道例题时起了什么作用，初步体会假设是解决问题的一种策略。二是回顾以前的数学学习中曾经运用假设策略解决过哪些问题，进一步体验假设是一种重要且常用的解决问题策略。我们都知道，感悟解题方法里的数学思想，是策略教学十分重要的一个环节，能使例题的教学价值超越通常的解题，获得更有普遍意义的启示。通过说策略，能够使“假设——替换”从潜在的、无意识的状态，变成清晰的、能主动使用的解题资源。学生的策略的体会越深刻，策略意识就越强烈。
配合例1的“练一练”让学生像例题那样进行假设与替换，把较复杂的问题转化成较简单的问题，通过解答假设以后的问题，得到原来问题的答案。应该让学生先独立解题，再交流解法以及形成解法的思考过程，以再认运用的解题策略，体会怎样假设、怎样替换。
练习十一第1～3题是配合例1的习题。第1题着重练习等量替换，因为运用假设策略解决问题，经常要进行等量替换。第（1）小题用天平图表示1个菠萝与2个梨一样重，1个梨与3个桃一样重，问题是1个菠萝与几个桃一样重。学生说出这个问题的答案并不难，甚至会列式计算。应该让他们说出解法里的替换思想和替换方法。第（2）小题同样要突出解题方法里的假设与替换。学生有了等量替换的意识，解答第2、3两题应该没有困难了。
（二） 例2主动应用“假设—替换”策略解决问题，提高假设与替换的水平
学生在例1里初步认识的解决问题策略，会影响后面的解题。如果解决后面的问题也运用同样的策略，那么这种策略会很自然地向新的问题情境迁移，并在解题活动中得到加强和发展。
例2呈现在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是100个的问题情境，每个大盒比每个小盒多装8个，求每个大盒和每个小盒各装多少个球。这题与例1比，有些相似，有点变化，稍难一些。教学安排与例1差不多，也是“理解题意，关注数量关系”“提出假设，引发替换活动”“解答问题，感受假设思想”“回顾反思，积累假设体验”的过程。只是把“提出假设，引发替换活动”与“解答问题，感受假设思想”连贯起来，一气呵成。因为学生在学习例2时，已经具有假设、替换的心向，在提出假设、实施替换的同时，解题方法也就随之形成了。教学应该尊重学生的现实，努力保持他们的思维连贯性。教学例2需要注意以下几点：一是突出实际问题里的两个基本数量关系，即2个大盒里球的个数+5个小盒里球的个数=100；1个大盒里球的个数-8=1个小盒里球的个数、1个小盒里球的个数+8=1个大盒里球的个数。这些数量关系式是对两个已知条件的理解，有助于形成假设与替换的思路。二是分别用两种假设解题。可以先假设7个全是小盒，用小盒替换大盒；再假设7个全是大盒，用大盒替换小盒。让学生在两种方法解题的过程中体会怎样用大盒替换小盒，怎样用小盒替换大盒，并利用两种解法检验解题结果是否正确。三是处理好替换难点。无论用大盒替换小盒，还是用小盒替换大盒，都是“一对一”的替换。即用2个大盒替换成2个小盒，或用5个小盒替换成5个大盒。像这样的替换会引起球的总个数的变化，这就构成了思维的难点。所以，教材在假设7个全是小盒以后，提醒学生注意“球的总数会发生什么变化？”帮助他们认识到，用小盒替换大盒，盒子里球的总数会减少。2个小盒替换2个大盒，球的总数减少8×2=16（个）。同样，在假设7个全是大盒以后，要提醒学生思考“球的总数又会怎样变化？”帮助他们认识到，用大盒替换小盒，盒子里球的总数会增多。5个大盒替换5个小盒，球的总数增加8×5=40（个）。四是回顾反思。不仅要针对例2的解答，还应包括例1的学习。让学生在两道例题的解答中，体验假设与替换的思想和操作方法，感受两题的假设哪些地方是一致的，哪些地方不一样，从而获得像“辣椒”卡通所说的经验。
配合例2的“练一练”第1题和例2很相似，学生解题困难不会太大。教材仍然要求学生用两种假设与替换方法解题，通过填空“假设5个都是大瓶，装的油要比18千克多（）千克；假设5个都是小瓶，装的油要比18千克少（）千克”，进一步体验“相差关系”的替换特点，准确把握替换所引起的油的总数的变化。
练习十一第5题，用线段图给出数量关系：苹果树、桃树、梨树一共260棵；桃树比苹果树多20棵，梨树比苹果树多30棵。求三种树各有多少棵。教材要求“假设桃树、梨树都与苹果树同样多”，并引导学生思考这样假设会使三种树的总棵数发生怎样的变化。当然，把各种树假设为与桃树同样多，或者假设为与梨树同样多，也可以解题，不过解题过程会比较麻烦。因为这些假设引起的三种树总棵数的变化较难把握，也较难计算。所以，教学不要提倡学生采用另两种假设方法，但可适当体会那些假设方法解题不大容易。第12题在第5题基础上编排，与第5题相当接近。只是要求学生先用线段图表示数量关系，再自己选择适当的假设与替换方法，并独立解决问题。